采用里兹法对弹性地基上矩形薄板进行计算.对于四边自由的边界条件而言,可以选取如下的挠曲试函数
其中:αm=(mπ)/a,βn=(nπ)/b,(m,n=1,2,3…); 而w0,θx,θy,Amn,Bm,Cn是待定系数.具体分析如下:w0+xθx+yθy为整个板的刚体位移,中间的∑∞m=1∑∞n=1Amnsinαmxsinβny为板任意位置上的二维挠度,最后两项表示板在对应方向上的挠曲.
由下列各式
分别整理后可以得到如下系列方程组,即
[kab+2Gpα(a+b)+3Gp]w0+
((ka2b)/2+Gpαab+Gpαa2+(3Gpa)/2)θx+
((kab2)/2+Gpαab+Gpαb2+(3Gpb)/2)θy+
∑∞m=1∑∞n=1k/(αmβn)[1-(-1)m][1-(-1)n]Amn+
∑∞m=1((kb)/(αm)+(2Gpα)/(αm)+(Gpαm)/(2α))[1-(-1)m]Bm+
∑∞n=1((ka)/(βn)+(2Gpα)/(βn)+(Gpβn)/(2α))[1-(-1)n]Cn=
∫a0∫b0[q(x,y)]dxdy(22)
((ka2b)/2+Gpαab+Gpαa2+(3Gpa)/2)w0+
[(ka3b)/3+Gp(ab+αa2b+(2αa3)/3+(3a2)/2)]θx+
[(ka2b2)/4+Gp((αab2)/2+(αa2b)/2+(3ab)/4)]θy+
∑∞m=1∑∞n=1(-ka)/(αmβn)(-1)m[1-(-1)n]Amn+
∑∞m=1[(-kab)/(αm)-(2Gpαa)/(αm)-(Gpαma)/(2α)](-1)mBm+
∑∞n=1[(ka2)/(2βn)+(Gpαa)/(βn)+(Gpβna)/(4α)][1-(-1)n]Cn=
∫a0∫b0[q(x,y)x]dxdy(23)
((kab2)/2+Gpαab+Gpαb2+(3Gpb)/2)w0+
[(ka2b2)/4+Gp((αa2b)/2+(αab2)/2+(3ab)/4)]θx+
[(kab3)/3+Gp(ab+αab2+(2αb3)/3+(3b2)/2)]θy+
∑∞m=1∑∞n=1(-kb)/(αmβn)(-1)n[1-(-1)m]Amn+
∑∞m=1[(kb2)/(2αm)+(Gpαb)/(αm)+(Gpαmb)/(4α)][1-(-1)m]Bm+
∑∞n=1[(-kab)/(βn)-(2Gpαb)/(βn)-(Gpβnb)/(2α)](-1)nCn=
∫a0∫b0[q(x,y)y]dxdy(24)
{k/(αmβn)[1-(-1)m][1-(-1)n]}w0+
(-ka)/(αmβn)(-1)m[1-(-1)n]θx+
(-kb)/(αmβn)(-1)n[1-(-1)m]θy+
1/4[Dab(α2m+β2n)2+kab+Gpab(α2m+β2n)]Amn+
[(Da)/2((α4m)/(βn)+μα2mβn)+(ka)/(2βn)+(Gpα2ma)/(2βn)]x;…
…[1-(-1)n]Bm+
[(Db)/2((β4n)/(αm)+μαmβ2n)+(kb)/(2αm)+(Gpβ2nb)/(2αm)]x;
[1-(-1)m]Cn=
∫a0∫b0[q(x,y)sinαmxsinβny]dxdy
(m,n=1,2,3,···)(25)
((kb)/(αm)+(2Gpα)/(αm)+(Gpαm)/(2α))[1-(-1)m]w0+
[(-kab)/(αm)-(2Gpαa)/(αm)-(Gpαma)/(2α)](-1)mθx+
[(kb2)/(2αm)+(Gpαb)/(αm)+(Gpbαm)/(4α)][1-(-1)m]θy+
∑∞n=1[(Dα2ma)/(2βn)(α2m+μβ2n)+(ka)/(2βn)+(Gpα2ma)/(2βn)]x;
[1-(-1)n]Amn+1/2[Dα4mab+kab+
Gp(2αa+α2mab+α2ma)]Bm+
∑∞n=1[Dμαmβn+k/(αmβn)][1-(-1)m]x;
[1-(-1)n]Cn=∫a0∫b0[q(x,y)sinαmx]dxdy
(m,n=1,2,3,…)(26)
((ka)/(βn)+(2Gpα)/(βn)+(Gpβn)/(2α))[1-(-1)n]w0+
[(ka2)/(2βn)+(Gpαa)/(βn)+(Gpaβn)/(4α)][1-(-1)n]θx+
[(-kab)/(βn)-(2Gpαb)/(βn)-(Gpβnb)/(2α)](-1)nθy+
∑∞m=1[(Dβ2nb)/(2αm)(β2n+μα2m)+(kb)/(2αm)+(Gpβ2nb)/(2αm)]x;
[1-(-1)m]Amn+1/2[Dβ4nab+kab+
Gp(2αb+β2nab+β2nb)]Cn+
∑∞m=1[Dμαmβn+k/(αmβn)][1-(-1)m]x;
[1-(-1)n]Bm=∫a0∫b0[q(x,y)sinβny]dxdy
(m,n=1,2,3,…)(27)
可见未知数的数目和方程的个数相等,问题可解.以下算例中均取m=50,n=50.
例1 取板的弹性模量E=1.96×104 MPa,泊松比为μ=0.167,地基的弹性模量为Es=39.2 MPa,泊松比为μs=0.4,深度为H=0.6 m,地基参数γ=1.55,板宽a=1 m,板厚h=0.04 m,集中力P=98 kN,均布荷载q=9.8 kN/m2.
图2是依据本法绘制的双参数地基上矩形薄板的挠度图,图3是弯矩图,宏观定性看出图形的趋势走向及数值大小与实际符合.表2中第一行是双参数地基矩形薄板的精确解[18-19],第二行是本文由横观各向同性弹性地基退化为各向同性弹性地基的计算结果.微观定量进行比较,两者结果吻合良好,百分误差都在可接受的较小范围之内,证明了分析结果的可靠性.
图2 矩形板的挠度分布
Fig.2 Deflection distribution of rectangular plate
图3 矩形板的弯矩分布
Fig.3 Bending moment of rectangular plate
表2 例1中板的挠度值/m
Tab.2 Deflection of rectangle plate in Example 1
例2 矩形薄板的物理和几何参数,荷载情况同例1,横观各向同性地基参数选取如下,Es1=39.2 MPa, Es2=29.4 MPa,μ1=0.4,μ2=0.4,G=14 MPa,计算结果见文后的表3.
由于现有文献中没有关于横观各向同性双参数地基上矩形薄板受横向荷载作用的弯曲挠度,所以本算例只与退化后的各向同性双参数地基上矩形薄板的结果相比较.
首先,经过编程运算,横观各向同性双参数地基上受横向荷载作用的矩形薄板的变形图与图2相似,也就是图形的趋势走向及数值大小与实际吻合.其次,定量地分析,表3中第一行是本文各向同性双参数地基板的挠度,第二行是本文横观各向同性双参数地基板的计算结果.经过比较,同性地基情况解略大于横观各向同性地基情况的解.定性分析原因在于地基土体假设为横观各向同性体,相比于各向同性体而言,土体的本构关系有所不同; 也就是在对横观各向同性地基假定弹性常数时,弹性模量比各向同性地基土的较小,从而导致横观各同性双参数的地基参数k变大,所以板与地基的变形局部变小.最后,值得一提的是,关于结果符合工程实际的讨论中,本文只在理论上给出证明,即采用更接近工程实际情况的横观各向同性地基来推导计算,核心在于其本构关系不同于经典的各向同性双参数地基; 缺少通过原位试验来测量矩形薄板受载后的变形结果,或者利用有限元软件来模拟计算,这将是之后科研的方向和目标.
另外,
参考文献[18-19]中采用了一些旧的单位制,为了既可方便地与已有结果进行对比,同时又遵循国标单位制,现给出基本的单位换算关系1 t=103 kg,1 Pa=1 N/m2,g=9.8 m/s2
表3 例2中板的挠度值(m)
Tab.3 Deflection of rectangle plate in Example 2
