拉丁超立方抽样法^[4]简单来说就是将随机自变量按照其分布函数等概率分为k个区间(k是样本点数量),然后在每个区间内等概率抽出一点共得到k个点,即为随机自变量的样本点.当对n个相互独立的随机变量进行抽样,以两个自变量为例进行说明:

假设Z=G(x,y)是某结构的功能函数,其中x和y分别为该结构的两个相互独立的随机自变量,k为需要的样本数.将x和y按照各自的概率分布函数等概率分为k个区间,分别为D_x=(d^x₁,d^x₂,…,d^x_i,…d^x_k)和D_y=(d^y₁,d^y₂,…,d^y_i,…d^y_k).将向量D_x和D_y组成的二维向量空间看做是一个二维矩阵,在该矩阵中随机抽取k个元素,同时保证抽到的每个元素不同行,不同列.(d^x_i,d^y_j)为抽取的区间元素,共抽取k个区间元素,在抽取的每个区间等概率的抽取样本点.

可靠度分析采用传统的一次二阶矩法,对于功能函数较难得到,或者为非显示函数时的情况,需进行功能函数的拟合.响应面法则应用统计抽样技术和回归拟合技术,将原本难以表达的功能函数转化为简单的拟合函数.常用的响应面法有多项式拟合响应面法和BP神经网络拟合响应面法.

1.2.2 BP神经网络拟合的响应面函数

BP神经网络(BPANN)^[6,7]是一种单向传播的多层前馈网络结构,也是目前应用最广泛的一种网络结构.一个完整的BP神经网络结构包含:输入层、输出层、隐含层共三部分^[8],如图1.隐含层可以为单层或多层,同层的神经元之间没有联系.信号由输入层输入,经过隐含层,最后由输入层输出结果,只有相邻的两个层由信号传递,且信号只能单向的传递给下一层,这也称之为多层前馈网络.

图1 三层BP神经网络
Fig.1 Three-layer BP neural network

本文采用一个具有Tan-Sigmoid型传递函数的3层BP神经网络进行响应面的拟合^[9].BP神经网络拟合的响应面函数可以表达为:

Z^-=G^-(X)=

N^-1_G^-(f₂(∑^p_j=1v_hf₁(∑ⁿ_i=1w_hiN_xi(x_i)-θ_h)-θ^'))(3)

式中f₁(·)表示一个Tan-Sigmoid函数,f₂(·)表示一个线性函数,N(·)表示归一化函数.

1.6 方法流程

可靠度分析及灵敏度分析计算步骤:

(1)初步拟定影响结构的随机变量X和一组样本数量N₁,N₂,…,N_m,并确定各个自变量的概率分布函数.(2)建立结构有限元模型,样本数量为N_i,采用基于LHS抽样法的MC法粗略分析结构可靠度.(3)利用(2)中的随机变量样本和有限元模型响应样本拟合分析可靠度的响应面函数.(4)将MC法的分析结果作为初值,带入基于JC法的FOSM法迭代求解结构的精确可靠度β₀.(5)利用(4)最终拟合的响应面函数,对设计变量进行灵敏度分析,筛选影响结构可靠度的随机变量.

基于拟合函数的非线性优化方法步骤,如图2.

(1)确定需要优化的设计变量,以及目标函数所选用的指标和约束函数所选用的可靠度指标.(2)初定设计变量的优化区间,一般选择以当前设计方案X⁰为中心,优化区间[X⁰-0.3|X⁰|,X⁰+0.3|X⁰|].(3)采用LHS抽样技术,在设计变量优化区间均匀抽取个设计变量样本点.(4)结合有限元模型,计算每个样本点的优化指标,依照可靠度和灵敏度分析模块确定的随机变量数量和样本数量进行可靠度分析,得到相应的优化指标样本数据和可靠度指标样本数据.(5)利用拟合函数拟合设计变量与目标变量、可靠度之间的函数关系式.(6)将(5)中得到的函数关系式分别作为目标函数和约束函数,同时考虑设计变量的优化区间,进行非线性优化求解.(7)分析(6)的优化结果,若结果落在优化区间的中心区域,则停止优化输出优化结果,反之,将结果作为新的优化中心重新执行(2)～(7).

图2 基于可靠度的非线性优化流程图
Fig.2 Reliability-based non-linear optimization flow chart

为了比较蒙特卡洛法(MC)^[15]和基于不同响应面拟合法下的FOSM法的分析结果,本文对该刚架结构同时采用多种方法分析其结构可靠度,在使用FOSM方法时,本文采用两种响应面拟合法拟合响应面:(1)多项式拟合响应面,(2)BP神经网络拟合响应面.图4显示了不同分析方法下,可靠度分析结果随着样本容量的增加的变化趋势.

图4 基于可靠度的非线性优化流程图
Fig.4 Trend chart of reliability indicators with sample size

图5 随机变量灵敏度
Fig.5 Sensitivity of random variables

为了确定采用筛选后的随机变量对结构的可靠度分析结果与原分析结果一致,本文将具有3个随机变量模型分析得到的设计验算点和可靠度指标与具有6个随机变量模型分析得到的结果进行比较,如表2所示.

表2 设计验算点及可靠度分析结果表
Tab.2 Design check points and reliability analysis results table

从表2可以看出,采用模型中采用6个随机变量与采用3个随机变量对结构的可靠度分析结果基本一致,表明结构在3个随机变量与6个随机变量的影响下具有相同的失效模式.综上所述,可以采用3个随机变量的BP神经网络模型对该结构在A点的水平位移进行可靠度分析.

根据上述分析,12层刚架模型的可靠度指标为1.47,相应的失效概率为7.09%.为了提高结构可靠度,本文对该刚架结构进行基于可靠度的杆件截面优化设计.根据上一节灵敏度分析的结果,对结构可靠度影响最为显著的随机变量为水平荷载,但是水平荷载属于不可控影响因素,不能人为的改变,因此只能通过优化杆件的横截面面积来提高结构可靠度.根据上文灵敏度分析结果,本文选择灵敏度较高的截面积A₁,A₄作为设计变量对结构进行可靠度优化设计.建立非线性优化模型如下:find X=[A₁,A₄]^T;

min f_obj(X);

s.t. f_con(X)≥β^-;

[X⁰-0.2|X⁰|0+0.2|X⁰|](12)

其中,[X⁰-0.2|X⁰|0+0.2|X⁰|]为非线性优化过程中,设计变量的取值区间,X⁰表示设计变量在优化模型中的初值.

表3显示了优化前后结构的设计验算点和可靠度分析结果.从表中可以看出,经过优化增加了A₁、A₄的截面积大小,所以对应的设计验算点均有所增加.同时可以看出,P的设计验算点也有所增加,这是因为经过优化,结构失效的条件更加苛刻,需要更大的水平荷载才能导致A点水平位移超过允许值,因此P的设计验算点增大了.设计验算点的变化很好解释了经过优化设计结构可靠度提高的原因.从表中还可以看出,经过优化结构的可靠度从1.49提高到了2.42,失效概率也从6.82%降低到了0.79%,优化效果显著.

表3 优化前后设计验算点及可靠度分析对比表
Tab.3 Design check points and reliability analysis and contrast table before and after optimization

对上述算例采用本文所述的可靠度优化方法优化效果显著,同时采用与该优化方法配套的可靠度分析和灵敏度分析方法也显示优化前后结构各方面性能的改善,客观的对优化设计进行了评价,保证了优化设计的可信度.采用BP神经网络响应面法比多项式响应面法拟合得到的功能函数的拟合优度高.所以在非线性优化模型中也采用BP神经网络拟合优化函数.

本文以某斜拉桥为例进行索力优化.如图6所示,主桥采用钢拱塔斜拉桥,塔墩固结,塔梁分离,双索面半漂浮体系,钢箱梁跨径布置为80+80=160 m,单幅桥宽23.5 m.全桥钢结构重约7 109 t.主梁和桥塔均为钢结构,均采用Q345qD型钢材.采用顶推法借助临时墩的支撑完成主梁施工,之后通过张拉斜拉锁完成体系转换.

图6 斜拉桥立面布置图
Fig.6 Elevation layout of cable-stayed bridge

图7 桥型示意图
Fig.7 Bridge sketch

钢箱梁横截面截面原张拉方案,在斜拉索初次张拉之后,已经没有临时墩支撑的情况下,边墩支座反力为2.763 t.但是在实际工程中,由于诸多不确定因素的影响,导致初次张拉后,钢箱梁的边墩支座脱空.因此,本文将考虑不确定因素影响,对该桥边墩支座反力进行可靠度分析,并通过优化初次张拉方案.

采用BEAM44单元模拟主梁和索塔,采用LINK10单元模拟斜拉索和水平索,为了提高有限元计算速度,钢箱梁,索塔和拉索均采用数值截面.对于斜拉索不考虑垂度效应的影响,通过控制拉索的无应力索长来使模型达到设计状态.

将样本容量为400时的BP神经网络法拟合函数作为结构边墩支座支反力R₀的功能函数,对结构进行可靠度和灵敏度分析.

图8是考虑27个变量,并对有限元模型进行400次抽样后的灵敏度分析结果,从上图可以看出,R₀点可靠度指标对参数XL1、XL2、XL3、G、R1、R2灵敏度较高,说明它们是影响R₀点受力的主要不确定因素.其中,参数XL1～XL8、XR1～XR8和SP1～SP8表示拉索张拉后对应的无应力索长.G表示钢箱梁由于加工制造的误差,造成梁体自重的不确定性,从图中可以看出,梁体自重对R₀点可靠度指标影响最为显著.R1、R2表示由于测量误差和施工误差导致的塔梁支座的标高的不确定性,该误差对R₀点可靠度的影响仅次于梁体自重的影响.依据结构灵敏度的分析结果,筛选出灵敏度大于0.01的6个变量对结构进行可靠度分析,结果见表4.

图8 27变量400次抽样灵敏度分析结果
Fig.8 Sensitivity analysis of 400 samples of 27 variables

表4 可靠度分析结果对比
Tab.4 Comparison of reliability analysis results

从表4可以看出,筛选变量并压缩样本容量后,可靠度指标和结构失效概率变化不大,筛选随机变量并没有改变结构的失效模式,筛选后随机变量可以完成对结构的可靠度分析.

对于工程而言,31%的失效概率显然不能保证结构的安全施工和正常使用,有必要采取一系列措施控制R₀点的失效概率,通过上一节的可靠度分析和灵敏度分析可知,降低结构失效概率最有效的方法是提高钢箱梁的加工精度和降低塔梁支座的标高误差.然而,这些方案虽然有效但却难以实现,无论是钢箱梁的加工精度和梁塔支座的标高误差,都受到施工工艺水平限制和构件加工机床、测量仪器等器材的限制,都不能在短时间内有所改观,所以只能通过调整XL1、XL2、XL3对应的拉索的张拉程度来优化R₀点的可靠度.

本文提出对R₀点可靠度的优化方案:将X1、X2、X3对应拉索的张拉程度作为设计变量,采用无应力索长表示拉索的张拉程度,记为XS1～XS3.为了保证优化方案拉索张拉后的主梁线型的接近设计线型,考虑到桥梁结构的对称性,选择一侧主梁的8个下吊点位置的竖向位移作为控制主梁线型的变量,记为d1～d8.

建立非线性优化模型:

数,表示8个下吊点的竖向位移最小化; f_con(XS_opt)为优化约束函数,表示R₀处支反力要满足设计要求β^-,本文中β^-取值为2.5.[XS⁰_opt-0.2|XS⁰_opt|0_opt0_opt+0.2|XS⁰_opt|]表示 优化区间,其中XS⁰_opt表示每次优化的初值.通过建立的非线性优化模型,对设计变量进行优化,表5表示优化前后可靠度分析结果.

表5 优化前后可靠度分析结果
Tab.5 Analysis results of reliability before and after optimization

从表5可以看出优化设计后,R₀点的可靠度水平显著上升,从0.490提高至2.633,对应从31.14%的失效概率降低至0.42%的失效概率,优化效果明显.优化后的结构失效概率在1%以内,可以满足工程要求,保证了正常使用和施工的安全.

表6 优化前后结构受力
Tab.6 Structural forces before and after optimization

表6显示优化前后钢箱梁和索塔的最大正弯矩和最大负弯矩,以及R₀点支座支反力的结构.从表中可以看出,优化后R₀点的支座支反力从27.083 kN上升到了203.320 kN,支反力显著提高,这是因为通过对拉索伸长量的优化,将原本由斜拉索承担的荷载部分分配到了R₀点的支座上,提高了支座的压力储存,从而降低了支座因脱空而失效的概率.通过优化,并没有改变原设计方案下的结构受力模式,钢箱梁弯矩和索塔弯矩均与原设计方案下的弯矩相近,表明结构其他力学指标仍然满足设计标准,并没有降低结构整体的受力合理性.