透榫主要用于大木结构,因使用时做成大进小出形状,故又称成为大进小出榫,如图1所示.

透榫主要用于需要拉结、但又无法用上起下落的方法进行安装的部位,如连接金柱与檐柱的穿插枋两端、抱头梁与金柱相交部位等处.竖向荷载作用下,透榫节点既能够承受一定弯矩,也能够产生一定转角.

图1 透榫节点示意图
Fig.1 The sketch of mortise and tenon joint

对于有一定松动程度的透榫节点,榫卯之间存在空隙,在外荷载作用下,榫头首先产生滑移,在滑移的过程中榫卯接触面的摩擦力产生转动弯矩; 随着加载的继续,当榫卯之间的空隙等于榫头的滑移量时,榫卯之间产生挤压力,此时榫头处于摩擦力及卯口对榫头挤压力的共同作用状态.

图2 透榫节点受力分析
Fig.2 The force analysis of mortise and tenon joint

当榫卯之间产生转角时,榫头与卯口必然产生一定的滑移,转动产生的拉力使得榫头出现拔榫现象,这种拔榫程度一般较低.但是由于埋置嵌入效应,可在一定程度上抑制拔榫的继续发展,同时榫头在与挤压力平行的平面亦会受到卯口两侧的挤压,在节点转动过程中,挤压力会在榫卯接触面上产生沿着与挤压力方向平行的摩擦力F_μ3.如此,榫卯节点处在榫头挤压发生塑性变形部位产生的埋置嵌入作用、榫卯接触面产生的摩擦力及榫卯挤压力共同作用下,这些作用力以产生埋置嵌入部位为作用点与外荷载产生的弯矩相平衡.

古建筑木柱、穿插枋取材工艺决定了沿其构件纵向为顺纹方向.木材是一种具有一定柔性的非均质正交各项异性材料,其力学性能具有各向异性,木材的本构关系也十分复杂,进行分析时需进行一定简化.

榫卯节点转角主要为榫头产生的转动,节点域几乎不产生剪切变形,因此在公式推导过程中,不考虑节点域产生的转角.

文献[12]对榫头转动过程的动摩擦系数进行了研究,认为榫头发生滑移后,动摩擦系数等于滑移前的静摩擦系数.

榫头转动的过程中,拉力分量使得榫头产生一定的拔榫,外荷载力矩作用点会发生一定的变化,但由于拔榫量一般较小,因此可认为外荷载的力矩作用点固定不变.

根据上述分析,可作以下基本假定:

(1)木材沿柱、穿插枋纵向为顺纹方向,木材简化为正交各向异性材料,受拉本构关系采用单折线本构模型,受压本构关系采用双折线强化本构模型,且抗拉弹性模量等于抗压弹性模量,应力-应变关系符合胡克定律;

(2)榫头转角不考虑节点域产生的剪切变形,只考虑榫头沿着外荷载力矩作用点产生的转角;

(3)榫头在滑移前后,认为动静摩擦系数相等,且为定值;

(4)榫头转动过程中,外荷载力臂长度为定值.

如图2、图3所示,当榫卯节点产生转角θ(包含由于节点松动导致自由转动产生的转角)时,透榫榫额与榫颈为受压区,榫头发生转动时,使得榫头产生一定程度的拔榫,导致榫头上下表面与卯口产生一定的挤压和摩擦,从而产生埋置嵌入效应,榫头拔榫挤压变形如图3所示.

图3 透榫节点尺寸图
Fig.3 Dimensions of the mortise and tenon joint

{F_N1+F_N2+Fcosθ=F_N3+F_μ3

F_μ1+F_μ2+F_μ4=Fsinθ(1)

根据图3的几何关系,可知

h₁+h₂+l_atanθ+l_csinθcosθ=

Lsin(α+θ)(2)

式中:h₁、h₂分别为透榫榫头中大头和小头的截面高度; l_a、l_c分别为榫头对应的嵌入埋置区的长度; L=(h²+l²)^1/2,α=arctan(h/l),其中:h=h₁+h₂,l=l₁+l₂,l₁、l₂分别为透榫榫头大头、小头插入卯口中的长度.同时α也可以用来表征透榫节点的松动程度.

对于榫额与榫颈处的埋置嵌入区域,沿埋置方向的最大应变可表示为

{ε_max,a=(l_asinθcosθ)/(h/cosθ)=(l_asinθcos²θ)/h

ε_max,b=(l_bsinθcosθ)/(h/cosθ)=(l_bsinθcos²θ)/h

ε_max,c=(l_csinθ)/h(3)

式中:ε_max,a,ε_max,b,ε_max,c分别为榫额、榫颈埋置嵌入区域内木材的最大应变值.

根据假定(1),榫额、榫颈埋置嵌入区域木材的最大应力值可以表示为

{σ_max,a=ε_max,a·E_⊥·β(φ)

σ_max,b=ε_max,b·E_⊥·β(φ)

σ_max,c=ε_max,c·E_⊥·β(φ)(4)

式中:σ_max,a,σ_max,b,σ_max,c分别为榫额、榫颈埋置嵌入区域木材的最大应力值; E_⊥为木材横纹径向受压弹性模量(当木材进入受压塑性阶段,强化段的弹性模量折减系数为0.3^[10]),木材横纹径向受压本构曲线如图4示; β(φ)为木材弹性模量的增大系数,由Hankinson公式计算,得

β(φ)=(E_//)/(E_//cosⁿθ+E_⊥sinⁿθ)(5)

图4 木材横纹径向本构关系曲线
Fig.4 The curve of relationship of cross grain wood at radial direction

{E_⊥(φ)=E_⊥·β(φ)ε≤ε_y

E_⊥(φ)=E_⊥,tan·β(φ)ε_y≤ε≤ε_u(6)

则木材榫额与榫颈埋置嵌入区域的应力值σ(φ)

可由公式(7)表示.

σ(φ)={E_⊥(φ)·ε ε≤ε_y

E_⊥(φ)·ε_y+E_⊥,tan·(ε-ε_y)ε_y≤ε≤ε_u(7)

式中:E_⊥,tan为木材进入到强化阶段的弹性模量,ε_y,ε_u为分别为木材的屈服应变值、极限应变值.

根据基本假定(1)、(3),结合公式(4)、(7),可得榫额及榫颈埋置嵌入受压区合压力,如式(8)所示.

{F_N1=(l_a·b·ε_max,a·E_⊥(φ))/2

F_N2=(l_b·b·ε_max,a·E_⊥(φ))/2

F_N3=(l_c·b·ε_max,a·E_⊥(φ))/2(8)

将式(3)代入式(8)可得

{F_N1=(l²_a·b·sinθcos²θ·E_⊥(φ))/(2h)

F_N2=(l²_b·b·sinθcos²θ·E_⊥(φ))/(2h)

F_N3=(l²_c·b·sinθ·E_⊥(φ))/(2h)(9)

根据式(9),可得透榫榫头榫额部位埋置嵌入区域榫卯接触挤压产生的摩擦力如式(10)所示.

{F_μ1=μ·F_N1

F_μ2=μ·F_N2

F_μ4=μ·F_N3(10)

式中:μ为木材摩擦系数,根据已有试验研究^[12],取μ=0.45.

榫头在转动过程中,卯口两侧对榫颊部位有挤压作用,由于透榫不像燕尾榫有“乍”和“溜”的做法,透榫榫颊不存在上窄下宽和根部窄、端部宽的做法,所以卯口对透榫榫颊挤压力较小,由此产生的摩擦力亦较小,即图2中透榫榫颊因卯口挤压产生的摩擦力F_μ3可忽略不计.

根据透榫大进小出做法及相关试验现象可知,榫头插入卯口部分受到卯口挤压作用的埋置嵌入区域中榫头上端部的l_a、l_b大致相等,即可假定l_a=l_b.

联立上述公式,并结合基本假定,解得榫头埋置嵌入长度分别为

{l_a=l_b=(κ(lsin(α+θ)-h))/(cos²θ+κ)

l_c=(lsin(α+θ)-h-l_a²)/(cos²θ)(11)

式中:κ=(((1-μ))/(2μ))^1/2.由式(11)知,榫头埋置嵌入长度与木材摩擦系数μ、榫头截面高度h及榫头插入卯口深度l有关,随着透榫节点松动程度的增大,榫头埋置嵌入长度随之减小.

联立式(1)、式(8)、式(10)、式(11)解得外荷载F的具体表达式如式(12)所示.

F={lsin(α+θ)-h-{(κ²[lsin(α+θ)-h]²)/((cos²θ+κ))}}

2[(bμsinθ(cosθ+sinθ)E_⊥(φ))/((1+μ)hcos⁴θ)](12)

综合上述,得抵抗弯矩M和转角θ间关系式为

M=Fs={lsin(α+θ)-h-

{(κ²[lsin(α+θ)-h]²)/((cos²θ+κ))}}2(bμssinθ(cosθ+sinθ)E_⊥(φ))/((1+μ)hcos⁴θ)(13)

式中,s为外荷载作用力臂.

结合已有研究成果^[13-14],透榫节点考虑不同松动程度影响的修正系数可按式(14)取值

k=1.189-2.977θ(14)

综上,考虑不同松动程度下透榫节点的抵抗弯矩M和转角θ之间的关系表达式为

M=kFs={lsin(α+θ)-h-

{(κ²[lsin(α+θ)-h]²)/((cos²θ+κ))}}

2[(bμsksinθ(cosθ+sinθ)E_⊥(φ))/((1+μ)hcos⁴θ)](15)

按照清工部《工程做法则例》缩尺比为1:3.2,设计制作了6个透榫节点模型,TJ1未削减大小榫头,TJ2-TJ6为榫头大小削减模型,反应不同程度的松动情况.模型构造如图5示.

图5 透榫节点模型尺寸
Fig.5 Dimensions of the mortise and tenon joint

表1 榫卯节点松动程度
Tab.1 The rate of looseness of mortise and tenon joint

透榫节点加载装置如图6示,试验对象为透榫节点,采用卧式加载方法,枋竖向放置,柱子横置,并由水平液压千斤顶施加柱端轴力.MTS作动器在枋端水平反复加载,规定水平作动器向右运动为正向加载方向,向左则为负向加载.为模拟实际梁端荷载,作动器前端设置球铰与枋连接.

试验加载采用位移控制,控制位移取透榫节点数值模拟分析的峰值位移Δ_u=50 mm。试验加载以控制位移为基准,首先以10%为增量,依次加载至控制位移的50%,每级循环一次; 而后以20%为增量,进行加载,每级循环三次,直至榫头折断,透榫节点发生破坏,试验终止.

图6 试验加载装置
Fig.6 Test loading device

根据木材材性试验测定方法所测结果见表2.

表2 木材材性指标
Tab.2 Mechanical properties of the experimental wood

TJ1-TJ6透榫节点骨架曲线如图7所示.由图7可知:

图7 透榫节点M-θ骨架曲线
Fig.7 Skeleton curves of mortise and tenon joint

(1)对于松动节点,榫头与卯口存在空隙,随转角的增大,弯矩增加并不明显,出现滑移段,滑移段随节点松动程度增大而增大,随转角增大,榫卯节点挤紧,之后受力过程与完好节点类似.

(2)松动节点的极限弯矩小于完好节点,极限转角大于完好节点; 随松动程度的增大,极限弯矩降低,极限转角增大.

(3)透榫节点的不对称导致各节点骨架曲线不对称,出现反向加载得到的极限承载力和极限转角均小于正向加载的情况.

根据公式(15)计算的残损透榫节点的理论计算结果与试验结果见表3.

表3 透榫节点试验值与理论值的对比
Tab.3 Comparison between experimental and theoretical value

表3中M_y、M_u分别为屈服弯矩、极限弯矩.角标“e”、“t”分别表示试验值、计算值.表中所得特征点数值为正、反向加载的平均值.由表3可见,虽然透榫节点弯矩的计算值与试验结果存在一定的偏差,但总体吻合较好,较全面地反映了透榫节点在转动过程中弯矩与转角的变化规律.