支持向量机(SVM)是一种基于统计学习理论的小样本创造性机器学习方法,结构风险最小化是其主要原则,有较强的泛化性能,是解决分类、回归问题的重要方法.对于非线性边坡,支持向量回归机(SVR)是将原始数据x映射到高维特征空间得到φ(x),进而将其转化为线性问题进行求解.

若存在样本训练集{(x_i,y_i)|i=1,2,3,…,n},其中:x_i为D维输入向量,y_i为输出目标,n为点的个数,则输入和输出之间的非线性关系可表示为

f(x)=w^Tφ(x)+b^*(3)

式中:f(x)为预测值; w为权值向量; φ(x)为输入变量x在高维特征空间的映射; b^*为偏置或负阈值.

函数回归的目的是使预测值f(x_i)与实际值y_i之间的误差尽可能小,这里引入不敏感损失函数ε,作为度量预测值与实际值的误差大小,表示如下:

L(x_i,y_i,ε)=|y_i-f(x_i)|_ε

=max{0,|y_i-f(x_i)-ε|}(4)

当差值小于ε时,误差将不计入损失函数.

SVR的主要学习任务是找出合适的w和b^*,使风险函数最小化.根据Vapnic-Chervonenkis理论^[15],该问题可转化为二次规划问题.在边坡的非线性问题中,引入松弛变量ξ_i≥0,ξ_i^*≥0(i=1,2,3,…,n),以此度量一个数据点与理想条件的偏离程度,则考虑不敏感损失函数ε的二次规划问题可描述为:

minR(w,ξ_i,ξ^*_i)=1/2‖w‖²+C∑^P_p=1(ξ_i+ξ^*_i)(5)

Subject to{y_i-wφ(x_i)-b^*≤ε+ξ_i

wφ(x_i)+b^*-y_i≤ε+ξ^*_i

ξ_i≥0,ξ^*_i≥0(6)

式中: C为惩罚因子,控制对大于拟合误差ε的惩罚程度.

在二次规划中的约束最优问题中,通常采用Lagrange系数法将上述问题转化为其对偶问题进行解决,并引入内积核函数K(x_i·x)=φ(x_i)·φ(x),最终得到非线性回归函数f(x),即

f(x)=∑ⁿ_i=1(α_i-α_i*)K(x_i·x)+b^*(7)

式中:0≤α_i,α^*_i≤C,(i=1,2,3,…,n),为拉格朗日乘子; x为待测样本; x_i为训练样本.

建立支持向量机模型时,采用目前常用的径向基核函数(RBF),即

K(x,x_i)=exp(-g‖x-x_i‖²)(8)

式中,g为核函数参数.

在支持向量机回归模型中,惩罚因子C和核函数参数g是对支持向量机预测影响较大的参数,为了避免人工选取参数的不准确性和低效率性,本文选用人工蜂群算法寻求最优参数.

人工蜂群算法是模仿蜜蜂行为的一种集群智能优化算法,包括四个主要元素:蜜源,引领蜂,跟随蜂和侦查蜂,其中,侦查蜂找到蜜源后变成引领蜂,跟随蜂接收到引领蜂传递的蜜源信息后选择适当蜜源去采蜜^[16],蜜源的位置相当于优化问题中的可能解,而蜜源包含的蜜量则代表对应解的适应度,则搜寻含蜜量最多的蜜源活动可以转变为寻找最优解的过程^[17].在该算法中,设定种群数量NP,蜜源数量FP=NP/2,蜜源维数量D=2,其具体流程如图3所示.

图3 蜂群算法流程图
Fig.3 Flow chart of artificial bee colony algorithm

x_ij=x_jmin+rand(0,1)(x_jmax-x_jmin)(9)

v_ij=x_ij+θ(x_ij-x_kj)(10)

式中:i∈{1,2,…,FN},表示蜜源个数; j是[1,D]中的一个随机整数,表示引领蜂随机地选择一维进行搜索; x_jmax为搜索空间上限; x_jmin为搜索空间下限; k∈{1,2,…,FN},k≠i,表示在FN个蜜源随机选择不同于i的蜜源; θ为[-1,1]之间的随机数,决定扰动幅度.

跟随蜂选择蜜源i的概率为

p_i=(fit_i)/(∑^FN_i=1fit_i)(11)

fit_i={1/(1+f_i) f_i≥0

1+abs(f_i)f_i<0(12)

式中,fit_i为蜜源i的适应度,f_i为蜜源i对应的解的函数值.

尽管原始蜂群算法搜索精度较高且鲁棒性较强,但易陷入局部最优,且蜜源更新需要在所有蜜源周围找更高质量的解x_best,j,该过程较为繁琐且用时较长.本文先将蜜源的适应度进行排序,找出适应度最高的蜜源,然后在其周围进行更优解的搜索,蜜源更新公式在式(10)的基础上变为

v_ij=x_best,j+θ(x_ij-x_kj)(13)

笔者已对改进人工蜂群算法(MABC)的性能进行了测试^[18],测试结果表明,该算法全局性更好,在处理单峰函数时具备跳出局部最优解的能力,在处理多峰函数时能在迭代次数较少的情况下搜索到全局最小值,避免了蜜源搜索的随机性,能够使目标值以最快的速度逼近最小值.

用向量x=(x₁,x₂,…,x_n)表示影响边坡稳定性的随机变量(影响边坡稳定性的因素),用向量y=(y₁,y₂,…,y_n)表示边坡的安全系数.随机变量确定后,为消除各维不同数量间的差别,对不同量纲和数量级的变量进行归一化,将原样本数据均转化至[-1,1]之间,映射如下:

y=2(x-x_min)/(x_max-x_min)-1(14)

式中,x,y∈Rⁿ,x_min=min(x),x_max=max(x).

对输入输出数据进行归一化映射,并选择径向基核函数(RBF)作为模型的核函数,然后用改进的人工蜂群算法搜索最优参数C、g,最后用该参数建立边坡安全系数预测模型(SVR模型).